Affine Space

在下面，我们将研究从原点偏移的空间，即不再是向量子空间的空间。此外，我们将简要讨论这些仿射空间之间类似线性映射的一些性质。

仿射子空间

备注：

在机器学习领域的文献中，线性和仿射之前的区别有时是不明确的，因此我们可以将线性空间/映射作为仿射空间/映射的参考。

定义仿射子空间

使 \(\mathrm{V}\) 为向量空间，\(\boldsymbol{x}_0 \in \mathrm{V}\)，以及子空间 \(\mathrm{U} \subseteq \mathrm{V}\)。那么子集

\[ \mathrm{L} = \boldsymbol{x}_0 + \mathrm{U} = \{\boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{u}: \boldsymbol{u} \in \mathrm{U}\} \\ =\{\boldsymbol{v} \in \mathrm{V} \mid \exists\boldsymbol{u} \in \mathrm{U}: \boldsymbol{v} = \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{u}\} \subseteq \mathrm{V} \]

称为 \(\mathrm{V}\) 的 仿射子空间(affine subspace) 或V的线性流型(linear manifold)。 \(\mathrm{U}\) 称为方向(direction)或方向空间(direction space), \(\mathrm{x_0}\) 被称为 支撑点(support point)，在第十二章分类中，我们也称这个子空间为一个 超平面(hyperplane)

注意，如果\(\boldsymbol{x}_0 \notin \mathrm{U}\)，那么仿射子空间不包括 \(\boldsymbol{0}\)。因此，对于\(\boldsymbol{x}_0 \notin \mathrm{U}\)，仿射子空间不是 \(\mathrm{V}\) 的（线性）子空间（向量子空间）

仿射子空间的例子是\(\mathbb{R}^{3}\)中的非远点以及不穿过原点的点、线和平面。

备注：

考虑向量空间\(\mathrm{V}\) 两个仿射空间 \(\mathrm{L} = \boldsymbol{x}_0 + \mathrm{U}\)和 \(\mathrm{\tilde{L}} = \boldsymbol{\tilde{x}}_0 + \mathrm{\tilde{U}}\)，当且仅当 \(\mathrm{U} \subseteq \mathrm{\tilde{U}}\) 和 \(\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\tilde{x}}_0 \in \mathrm{\tilde{U}}\)时， \(\mathrm{L} \subseteq \mathrm{\tilde{L}}\)

仿射子空间通常用参数(parameters)来描述：考虑 \(\mathrm{V}\) 的一个 \(\mathrm{k}\)维仿射空间 \(\mathrm{L} = \mathrm{x_0} + \mathrm{U}\)，若\(\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_k\)是\(\mathrm{U}\)的有序基，那么任意 \(\boldsymbol{x} \in \mathrm{L}\)都能被唯一描述为：

\[ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 + \lambda_1 \boldsymbol{b}_1 + \cdots + \lambda_k \boldsymbol{b}_k \]

其中\(\lambda_1,...,\lambda_k \in \mathbb{R}\)，这种表示称为\(\mathrm{L}\)关于 方向向量(directional vectors) \(\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_k\)和参数\(\lambda_1,...,\lambda_k\) 的 参数方程(parametric equation)

例仿射子空间

一维仿射子空间称为线(line)，可以写成 \(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}_0 + \lambda \boldsymbol{b}_1\)，其中\(\lambda \in \mathbb{R}\)和\(\mathrm{U} = \mathrm{span}[\boldsymbol{b}_1] \subseteq \mathbb{R}^{n}\)是\(\mathbb{R}^{n}\)的一维子空间。这意味着直线有支撑点\(\boldsymbol{x}_0\)和方向向量\(\boldsymbol{b}_1\)定义，如图2.13

图2.13 线为仿射子空间。线\(\boldsymbol{x}_0 + \lambda \boldsymbol{b}_1\)上的向量\(\boldsymbol{y}\)在支持点位\(\boldsymbol{x}_0\)，方向为\(\boldsymbol{b}_1\)的仿射子空间上。

\(\mathbb{R}^{n}\)的二维仿射子空间称为平面(plane)。平面的参数方程为 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0 + \lambda_1\boldsymbol{b}_1 + \lambda_2\boldsymbol{b}_2\)，其中\(\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R}, \mathrm{U}=\mathrm{span}[\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2] \subseteq \mathbb{R}^{n}\)。这意味这平面由支撑点 \(\mathrm{x}_0\) 和张成方向空间的两个线性独向量\(\boldsymbol{b}_1\)、\(\boldsymbol{b}_2\)定义。
在\(\mathbb{R}^{n}\)中，\(n - 1\) 维仿射子空间称为超平面(hyperplanes)，相应的参数方程为 \(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{x}_0 + \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\boldsymbol{b}_i\)，其中\(\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n\)是构成\(\mathbb{R}^{n}\)的\((n-1)\)维子空间\(\mathrm{U}\)的基。这意味着超平面由支撑点\(\boldsymbol{x}_0\) 和 \((n-1)\) 个线性无关向量\(\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_{n-1}\)张称方向空间定义。在\(\mathbb{R}^{2}\)中，直线也是一个超平面。在\(\mathbb{R}^{3}\)中，平台也是一个超平面。

备注非齐次线性方程组于仿射子空间

对于\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 和 \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{m}\)，线性方程组 \(\boldsymbol{A\lambda} = \boldsymbol{x}\) 的解是\(\mathrm{n} - \mathrm{rk}(\boldsymbol{A})\)维的空集或\(\mathbb{R}^{n}\)的仿射子空间。特别地，如果\((\lambda_1,...,\lambda_n) \neq (0,...,0)\)，则线性方程\(\lambda_1 b_1 + \cdots + \lambda_n b_n = \mathrm{x}\) 的解是\(\mathbb{R}^{n}\)的超平面。

在\(\mathbb{R}^{n}\)中，每个\(k\) 维仿射子空间都是一个非齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)的解，其中\(\boldsymbol{A } \in \mathbb{R}^{m \times n},\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{m}\) 且 \(\mathrm{rk}(\boldsymbol{A}) = \mathrm{n} - \mathrm{k}\)。回想一下前面的内容，对于齐次方程组 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\)，其解是一个向量子空间。我们也可以把它看作支撑点 \(\boldsymbol{x}_0\)的特殊仿射空间。

仿射映射

类似于向量空间之间的线性映射，我们也可以定义两个仿射空间之间的仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质( 例如线性映射的合成是一种线性映射)也适用于仿射映射。

定义仿射映射

对于两个向量空间 \(\mathrm{V},\mathrm{W}\)，一个线性映射 \(\Phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 和 \(\boldsymbol{a} \in \mathrm{W}\)，映射

\[ \phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\\ \qquad \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{a} + \Phi(x) \]

为 \(\mathrm{V}\) 到 \(\mathrm{W}\) 的一个 仿射映射(affine mapping)。向量 \(\boldsymbol{a}\)称为\(\phi\)的 平移向量(translation vector)

每个仿射映射 \(\phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 也是线性映射\(\Phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)和平移 \(\tau: \mathrm{W} \rightarrow \mathrm{W}\)在\(\mathrm{W}\)中的组合：\(\phi = \tau \circ \Phi\)。其中映射\(\Phi\)和\(\tau\)是唯一确定的。
仿射映射\(\phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)，\(\phi^{\prime}: \mathrm{W} \rightarrow \mathrm{X}\) 的合成\(\phi^{\prime} \circ \phi\)也是仿射映射
仿射映射保持几何结构不变。它们还保留了尺寸比例和平行度。