Linear Transformation

研究向量空间上结构不变的映射，这允许我们定义坐标的概念。之前我们说过向量相加并乘以标量得到的对象仍然是一个向量。这里我们希望在应用映射时保留此特性：

考虑两个实数向量空间\(\mathrm{V}\),\(\mathrm{W}\)。对于 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in V\) 和 \(\lambda \in \mathbb{R}\),映射\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 保持向量空间结构不变需满足：

\[ \Phi(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) = \Phi \boldsymbol{x} + \Phi \boldsymbol{y} \\ \Phi(\lambda \boldsymbol{x}) = \Phi \lambda (\boldsymbol{x}) \]

可以用定义来概括

定义 线性映射

对于向量空间\(\mathrm{V}\)，\(\mathrm{W}\)，如果

\[ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathrm{V},\forall \lambda,\psi \in \mathbb{R}: \Phi(\lambda \boldsymbol{x} + \psi \boldsymbol{y} ) = \Phi\lambda \boldsymbol{x} + \psi\Phi \boldsymbol{y} \]

则称 \(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 为 线性映射(Linear Mapping)，或 向量空间同态(vector space homomorphism) 或 线性变换(linear transformation)

这使得我们可以把线性映射用矩阵表示。之前的内容：将向量集合用矩阵的列表示。在处理矩阵的时候，我们必须判断矩阵所表示的内容：是线性映射还是向量集合。后面会看到关于更多的线性映射的内容，介绍一些特殊映射

定义 单射，满射，双射

考虑一个映射 \(\Phi: \mathcal{V} \mapsto \mathcal{W}\)，其中 \(\mathrm{V}\)，\(\mathrm{W}\)是任意集合。那么 \(\Phi\) 可以是

• 单射的(Injective): \(\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathcal{V}: \Phi(\boldsymbol{x}) =\Phi(\boldsymbol{y}) \Rightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}\)
• 满射的(Surjective): $\Phi(\mathcal{V}) = \Phi(\mathcal{W}) $
• 双射的(Bijective): 既是单射的，也是满射的

如果 \(\Phi\) 是满射的，那么\(\mathcal{W}\) 中的每个元素都可以通过 \(\Phi\) 从 \(\mathcal{V}\) “到达”。单射意味着映射结果相同的元素为同一元素。双射既是单射的也是满射的，所以一个双射映射\(\Phi\) 可以“撤销”（双射映射意味着两个空间的个体是一一对应的，所以可以撤销；而非双射这种多对一的情况，“撤销”后的对象是不唯一，不确定是哪一个，所以无法撤销。）即存在一个映射 \(\Psi: \mathcal{W} \mapsto \mathcal{V}\) ，使得\(\Psi \circ \Phi (\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}\)。映射 \(\Phi\) 被称为 \(\Phi\) 的逆，通常用 \(\Phi ^{\mathrm{-1}}\) 表示。

在这些定义下，介绍一些向量空间\(\mathrm{V}\)和\(\mathrm{W}\)之间线性映射的特殊情况

• 同态(Homomorphism)：\(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}\) 线性
• 同构(Isomorphism)：\(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}\) 双射
• 自同态(Endomorphism)：\(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{V}\) 线性
• 自同构(Automorphism)：\(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{V}\) 双射
• 定义 \(\mathrm{id}_{\mathrm{V}}\) ：\(\mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V},\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{x}\) 为\(\mathrm{V}\) 中的恒等映射或 单位自同构(identity mapping or identity automorphism)

例 同态

\(\Phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}，\Phi(\boldsymbol{x}) = x_1 + i x_2\) 是同态映射。

\[ \Phi(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}) =(x_1+y_1) + i(x_2+y_2) = x_1 + i x_2 + y_1 + iy_2 \\ = \Phi(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}) + \Phi(\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}) \\\\ \Phi(\lambda \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}) = \lambda x_1 + \lambda i x_2 = \lambda(x_1+ix_2) = \lambda \Phi(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}) \]

这也证明了为什么复数可以在 \(\mathbb{R}^{2}\) 中表示为元组：有一个双射线性映射，它将 \(\mathbb{R}^{2}\) 中的元组的元素加法转换为具有相应加法的复数集。注意，这里我们只展示了线性，而没有双射。

定理 2.17

有限维向量空间 \(\mathrm{V}\) 和 \(\mathrm{W}\) 同构当且仅当 \(\mathrm{dim}(\mathrm{V})=\mathrm{dim}(\mathrm{W})\)

定理2.17指出在两个相同维度的向量空间之前存在一个线性的双射映射。直觉上，意味着相同维度的向量空间是相同的，它们可以相互转化而不产生任何误差。

定理2.17也给出了之前将 \(\mathbb{R}^{m \times n}\)（\(m \times n\)-矩阵 张成的向量空间）和 \(\mathbb{R}^{mn}\) (\(mn\) 的向量张成的向量空间)视为相同的理由：因为它们的维数都是\(mn\) ，所以存在一个线性双射映射，将它们互相转换。（注意：向量空间的维数，由向量张成的向量空间的维数，以及由矩阵张成的向量空间的维数的区别）

备注

考虑向量空间 \(\mathrm{V},\mathrm{W},\mathrm{X}\)

• 对于线性映射\(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}\) 和 \(\Psi: \mathrm{W} \mapsto \mathrm{X}\) ，那么 \(\Psi \circ \Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{X}\) 也是线性映射。
• 如果 \(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}\) 同构，那么 \(\Phi^{-1}: \mathrm{W} \mapsto \mathrm{V}\) 也是同构的。
• 如果 \(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}, \Psi:\mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}\) 都是线性的（同态的），那么 \(\Phi + \Psi\) 和 \(\lambda\Phi,\lambda \in \mathbb{R}\) 也是线性的（同态的）。

线性映射的矩阵表示

任何\(n\) 维向量空间同构于 \(\mathbb{R}^{n}\) （定理2.17）。我们考虑 \(n\) 维向量的空间 \(\mathrm{V}\) 的一个基\(\{\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n\}\)。在下文中，基向量的顺序很重要。我们对集进行排序，得到

\[ \mathrm{B} = (\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n) \]

并称这个 \(n\) 元组为 \(\mathrm{V}\) 的 有序基(ordered basis)

备注：基需要是有序的，所谓的“第一个坐标，第二个坐标，等”才是有意义的

备注：目前为止定义的符号有点多，在这里总结以下

• \(\mathrm{B} = (\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n)\) 为有序基
• \(\mathcal{B} = \{\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n\}\) 为（无序的）基
• \(\boldsymbol{B} = [\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n]\) 是列为 \(\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n\) 的矩阵

定义 坐标

考虑一个向量空间 \(\mathrm{V}\) 以及 \(\mathrm{V}\) 的一个有序基 \(\mathrm{B} = (\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n)\) 。对于任意的 \(\boldsymbol{x} \in \mathrm{V}\)，有唯一一个关于 \(\mathrm{B}\) 的线性组合

\[ \boldsymbol{x} = \alpha_1 \boldsymbol{b}_1 + \cdots + \alpha_n \boldsymbol{b}_n \]

\(\alpha_1,...,\alpha_n\) 称为: \(\boldsymbol{x}\) 关于 \(\mathrm{B}\) 的 坐标(Coordinates)

\[ \boldsymbol{\alpha} = \begin{bmatrix} \alpha_1\\\vdots\\\alpha_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n} \]

\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(\boldsymbol{x}\) 相对于有序基 \(\mathrm{B}\) 的 坐标向量/ 坐标表示(coordinate vector/ coordinate representation)

一个基有效定义了一个坐标系。我们熟悉的笛卡尔坐标系，它由标准基向量 \(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\) 构成。在这个坐标系中，向量 \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}\) 都可以表示为 \(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\) 的线性组合。然而，\(\mathbb{R}^{2}\) 的任何基都定义了一个有效的坐标系，同一个向量\(\boldsymbol{x}\) 在 \((\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2)\) 基中可能会与 \(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2\) 不同的坐标表示。

快速理解： 把坐标系斜拉以下，矩形变菱形

在图2.8中,\(\boldsymbol{x}\) 相对于标准基\((\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2)\) 的坐标为\([2,2]^{\mathrm{T}}\) 。然而，关于基\((\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2)\)，相同的向量\(\boldsymbol{x}\)被表示为\([1.09,0.27]^{\mathrm{T}}\) ，即 \(\boldsymbol{x} = 1.09\boldsymbol{b}_1 + 0.27\boldsymbol{b}_2\)。在下文中了解如果获得这种表示。

例

几何向量\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{2}\) 相对于 \(\mathbb{R}^{2}\) 的标准基 \((\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2)\) 的坐标为 \([2,3]^{\mathrm{T}}\) 。可以将其表示为 \(\boldsymbol{x} = 2 \boldsymbol{e}_1 + 3 \boldsymbol{e}_2\) 。但是不一定选择标准基来表示这个向量。可以选择 $\boldsymbol{b}_1 = [1,-1]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{b}_2=[1,1]^{\mathrm{T}} $ 为基向量，这样可以得到 \(\boldsymbol{x}\) 相对它们的坐标：\(\frac{1}{2}[-1,5]^\mathrm{T}\)

图中 \(\boldsymbol{x}\) 的不同坐标表示取决于不同的基

备注

对于一个 \(n\) 维向量空间 $ \mathrm{V}$ 和 \(\mathrm{V}\) 的一个有序基 \(\mathrm{B}\) ，映射\(\Phi: \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathrm{V}，\Phi({\boldsymbol{e}_i})= \boldsymbol{b}_i, i=1,...,n\) 是线性的( 维度相同，所以进一步是同构的)，其中 \((\boldsymbol{e}_1,...,\boldsymbol{e}_n)\) 是关于\(\mathbb{R}^{n}\) 的标准基。

现在我们准备在 矩阵 和 有限维向量空间 之间的 线性映射 建立一个显示联系

定义2.19 变换矩阵

考虑向量空间 \(\mathrm{V}\) 和 \(\mathrm{W}\) 以及相应的有序基 \(\mathrm{B} = (\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n)\) 和 \(\mathrm{C} = (\boldsymbol{c}_1,...,\boldsymbol{c}_m)\) 。再考虑线性映射 \(\Phi: \mathrm{V} \mapsto \mathrm{W}\)：

\[ \Phi(\boldsymbol{b}_1) = \alpha_{11} \boldsymbol{c}_1 + \textcolor{blue}{\alpha_{21}}\boldsymbol{c}_2 + \cdots + \alpha_{m1}\boldsymbol{c}_{m} = \sum_{i=1}^{m}\alpha_{i1} \boldsymbol{c}_i \\ \vdots \\ \Phi(\boldsymbol{b}_j) = \alpha_{1j} \boldsymbol{c}_1 + \textcolor{blue}{\alpha_{2j}}\boldsymbol{c}_2 + \cdots + \alpha_{mj}\boldsymbol{c}_{m} = \sum_{i=1}^{m}\alpha_{ij} \boldsymbol{c}_i \\ \vdots \\ \Phi(\boldsymbol{b}_n) = \alpha_{1n} \boldsymbol{c}_1 + \textcolor{blue}{\alpha_{2n}}\boldsymbol{c}_2 + \cdots + \alpha_{mn}\boldsymbol{c}_{m} = \sum_{i=1}^{m}\alpha_{in} \boldsymbol{c}_i \]

\(\Phi(\boldsymbol{b}_j)\) 表示 \(\boldsymbol{b}_j\) 经过变换后相对 \(\mathrm{C}\) 的唯一坐标表示。然后我们得到

\[ \boldsymbol{A}_{\Phi} = \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \cdots & \alpha_{mn}\\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

我们称 \(m \times n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}_{\Phi}\) 为 \(\Phi\)（关于 \(\mathrm{V}\) 的有序基 和 \(\mathrm{W}\)的有序基）的* 变换矩阵(transformation matrix)*

\(\Phi(\boldsymbol{b}_j)\) 相对于 \(\mathrm{W}\) 的有序基 \(\mathrm{C}\) 的坐标是 矩阵 \(\boldsymbol{A}_{\Phi}\) 的第 \(j\) 列。

考虑(有限维) 向量空间\(\mathrm{V}\)、\(\mathrm{W}\)及其对应的有序基\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) 和变换矩阵\(\boldsymbol{A}_{\Phi}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)。

如果 \(\hat{\boldsymbol{x}}\) 是 \(\boldsymbol{x} \in \mathrm{V}\) 相对于\(\mathrm{B}\)的坐标向量。\(\hat{\boldsymbol{y}}\) 是 \(\boldsymbol{y} = \Phi(\boldsymbol{x}) \in \boldsymbol{W}\) 相对于\(\mathrm{C}\) 的坐标向量，则

\[ \hat{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{A}_{\Phi} \hat{\boldsymbol{x}} \]

这意味着可以使用变换矩阵将相对于 \(\mathrm{V}\) 的有序基的坐标映射到相对于\(\mathrm{W}\)中有序基的坐标。

例 变换矩阵

考虑 同态映射 \(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 以及 \(\mathrm{V}\) 的有序基 \(\mathrm{B}=(\boldsymbol{b}_1,...\boldsymbol{b}_n)\) 和 \(\mathrm{W}\) 的有序基\(\mathrm{C}=(\boldsymbol{c}_1,...\boldsymbol{c}_n)\) 并由:

\[ \begin{aligned} & \Phi(\boldsymbol{b}_1) = \boldsymbol{c}_1 - \boldsymbol{c}_2 + 3\boldsymbol{c}_3 - \boldsymbol{c}_4\\ & \Phi(\boldsymbol{b}_2) = 2\boldsymbol{c}_1 + \boldsymbol{c}_2 + 7\boldsymbol{c}_3 + 2\boldsymbol{c}_4\\ & \Phi(\boldsymbol{b}_3) = 3\boldsymbol{c}_2 + \boldsymbol{c}_3 + 4\boldsymbol{c}_4 \end{aligned} \]

可得关于 \(\mathrm{B}\) 和 \(\mathrm{C}\) 满足 $\Phi(\boldsymbol{b}k) = \sum_i,k=1,...,3 $ 的变换矩阵 }^{4}\alpha_{ij} \boldsymbol{c\(\boldsymbol{A}_{\Phi}\) 为

\[ \boldsymbol{A}_{\Phi} =[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & 3\\ 3 & 7 & 1\\ -1 & 2 & 4\\ \end{bmatrix} \]

其中\(\boldsymbol{\alpha}_j,j=1,2,3\) 为\(\Phi(\boldsymbol{b}_j)\)相对于\(\mathrm{C}\) 的坐标向量

例 向量的线性变换

图2.10 向量线性变化的三个例子

• (a) 初始数据
• (b) 旋转45°
• (c) 水平坐标拉伸
• (d) 反射、旋转和拉升的组合

考虑 \(\mathbb{R}^{2}\) 中的一组向量的三个线性变换及其变换矩阵

\[ \boldsymbol{A}_1 = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4})\\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4})\\ \end{bmatrix}, \boldsymbol{A}_2 = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \boldsymbol{A}_2 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \]

图2.10给出了一组向量线性变换的三个例子。图（a) 显示了 \(\mathbb{R}^{2}\) 中的400个向量，每个向量对应 \((x_1,x_2)\)-坐标 的一个点。向量排列成正方形。

当我们矩阵使用\(\boldsymbol{A}_1\) 对这些向量进行线性变换时，我们得到了（b）中被旋转的正方形。

如果\(\boldsymbol{A}_2\) 表示的线性映射，我们得到（c）中的矩形，其中每个 \(x_1\)坐标 被拉伸2倍。

（d）显示了对原始图形使用\(\boldsymbol{A}_3\) 线性变换后的图形，\(\boldsymbol{A}_3\) 是反射、旋转和拉伸的组合。

基变换

接下来，我们观察下当改变 \(\mathrm{V}\) 和 \(\mathrm{W}\) 的基时，线性映射 $\Phi:\mathrm{V}\rightarrow\mathrm{W} $ 是怎样变化的。

考虑 \(\mathrm{V}\) 的两个 有序基(ordered basis)

\[ \mathrm{B} = (\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n), \tilde{\mathrm{B}} = (\tilde{\boldsymbol{b}_1},...,\tilde{\boldsymbol{b}_n}) \]

和 \(\mathrm{W}\) 的两个 有序基(ordered basis)

\[ \mathrm{C} = (\boldsymbol{c}_1,...,\boldsymbol{c}_n), \tilde{\mathrm{C}} = (\tilde{\boldsymbol{c}_1},...,\tilde{\boldsymbol{c}_m}) \]

\(\boldsymbol{A}_{\Phi} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是关于 基\(\mathrm{B}\)和\(\mathrm{C}\) 的映射 \(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 的变换矩阵。

\(\tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是关于 基\(\tilde{\mathrm{B}}\)和\(\tilde{\mathrm{C}}\) 的映射 \(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 的另一个变换矩阵。

下面我们研究需要研究 \(\boldsymbol{A}\)和\(\tilde{\boldsymbol{A}}\) 是什么关系，

即：如果我们选择从基\(\mathrm{B},\mathrm{C}\)到基\(\tilde{\mathrm{B}},\tilde{\mathrm{C}}\) 进行基变换，我们是否可以或如何 将 \(\boldsymbol{A}_{\Phi}\) 变换成\(\tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi}\)

备注

向量\(\boldsymbol{x}\)的坐标表示，取决于基(basis)的选择。在图2.9中我们经过恒等映射\(\mathrm{id}_{\mathrm{V}}\) 得到向量不同的坐标表示。这意味着，在不改变向量\(\boldsymbol{x}\)的情况下，将它相对于\((\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2)\) 的坐标映射到相对于\((\boldsymbol{b}_1),\boldsymbol{b}_2\)的坐标上。通过改变基，从而改变向量的表示，这允许通过一个简单的变换矩阵直接计算实现。

例 基变换的必要性

考虑一个关于\(\mathbb{R}^{2}\)标准基的变换矩阵

\[ \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2&1\\1&2 \end{bmatrix} \]

如果我们定义一个新基：

\[ \mathrm{B} = \left( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \right) \]

可以得到一个关于\(\mathrm{B}\)的对角变换矩阵

\[ \tilde{\boldsymbol{A}} = \begin{bmatrix} 3&0\\0&1 \end{bmatrix} \]

它比\(\boldsymbol{A}\)更容易处理。

在下面，我们将研究将一个基的坐标向量转换成另一个基的坐标向量的映射。我们首先陈述主要结论，然后给出解释。

定理2.20 基变换

对于线性映射 \(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)，\(\mathrm{V}\)的有序基

\[ \mathrm{B} = (\boldsymbol{b}_1,...,\boldsymbol{b}_n), \tilde{\mathrm{B}} = (\tilde{\boldsymbol{b}}_1,...,\tilde{\boldsymbol{b}}_n) \]

和 \(\mathrm{W}\) 的有序基

\[ \mathrm{C} = (\boldsymbol{c}_1,...,\boldsymbol{c}_m), \tilde{\mathrm{C}} = (\tilde{\boldsymbol{c}}_1,...,\tilde{\boldsymbol{c}}_m) \]

以及 \(\boldsymbol{A}_{\Phi} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是关于\(\mathrm{B}\)和\(\mathrm{C}\) 的映射\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)的变换矩阵。\(\tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是关于\(\tilde{\mathrm{B}}\)和\(\tilde{\mathrm{C}}\)相应的变换矩阵，它由以下公式给出：

\[ \tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi} = \boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}_{\Phi}\boldsymbol{S} \]

其中，\(\boldsymbol{S} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 为\(\mathrm{id}_{\mathrm{V}}\)的变换矩阵，它将相对于\(\tilde{\mathrm{B}}\) 的坐标映射到\(\mathrm{B}\)。而\(\boldsymbol{T} \in \mathbb{R}^{m \times m}\)为\(\mathrm{id}_{\mathrm{W}}\) 的变换矩阵，它将相对于\(\tilde{\mathrm{C}}\)的坐标映射到\(\mathrm{C}\)

证明

把 \(\mathrm{V}\) 的新基 \(\tilde{\mathrm{B}}\) 的向量写成\(\mathrm{B}\)的基向量的线性组合：

\[ \tilde{\boldsymbol{b}}_j = s_{1j}\boldsymbol{b}_{1} + \cdots + s_{nj} \boldsymbol{b}_n = \sum_{i=1}^{n}s_{ij}\boldsymbol{b}_i,\quad j=1,...,n \qquad (2.106) \]

同理，把 \(\mathrm{W}\) 的新基 \(\tilde{\mathrm{C}}\) 的向量写成\(\mathrm{C}\)的基向量的线性组合：

\[ \tilde{\boldsymbol{c}}_k = t_{1k}\boldsymbol{c}_{1} + \cdots + t_{mk} \boldsymbol{c}_m = \sum_{l=1}^{m}t_{lk}\boldsymbol{c}_l,\quad k=1,...,m\qquad (2.107) \]

我们定义

• \(\boldsymbol{S} = ((s_{ij})) \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 为将相对于 \(\tilde{\mathrm{B}}\) 的坐标 映射到\(\mathrm{B}\)的 变换矩阵
• \(\boldsymbol{T} = ((t_{lk})) \in \mathbb{R}^{m \times m}\) 是将相对于 \(\tilde{\mathrm{C}}\) 的坐标 映射到\(\mathrm{C}\)的 变换矩阵

特别地，\(\boldsymbol{S}\) 的 第 \(j\) 列是\(\tilde{\boldsymbol{b}}_j\) 相对于\(\mathrm{B}\)的坐标，而\(\boldsymbol{T}\)的 第\(k\) 利\(\tilde{\boldsymbol{c}}_k\) 是相对于 \(\mathrm{C}\) 的坐标表示。注意 \(\boldsymbol{S}\) 和 \(\boldsymbol{T}\) 都是正则的（可逆的）

我们将从两个角度来看 \(\Phi(\tilde{\boldsymbol{b}}_j)\)

第一，通过映射\(\Phi\)，对于\(j = 1,...n\)，我们可以得到

\[ \Phi\left(\tilde{b}_j\right) = \sum_{k=1}^{m} \underbrace{\tilde{a}_{kj} \tilde{\mathbf{c}}_k}_{\in W} \overset{(2.107)}{=} \sum_{k=1}^{m} \tilde{a}_{kj} {\color{blue} \sum_{l=1}^{m} t_{lk} \mathbf{c}_l} = \sum_{l=1}^{m} \left( \sum_{k=1}^{m} t_{lk} \tilde{a}_{kj} \right) \mathbf{c}_l \qquad\tag{2.108} \]

我们首先将新的基向量\(\tilde{\boldsymbol{c}}_k \in \mathrm{W}\)表示为基向量 \(\boldsymbol{c}_k \in \mathrm{W}\) 的线性组合，然后交换求和顺序。

或者，利用\(\Phi\)的线性，把\(\tilde{\boldsymbol{b}}_j \in \mathrm{V}\)表示为\(\boldsymbol{b}_j \in \boldsymbol{V}\) 的线性组合，可以得到

\[ \Phi(\textcolor{blue}{\tilde{\boldsymbol{b}}_j}) \overset{(2.106)}{=} \Phi\left( \textcolor{blue}{ \sum_{i=1}^{n}s_{ij}b_{i} }\right) = \sum_{i=1}^{n}s_{ij}\textcolor{red}{\Phi(\boldsymbol{b}_i)} = \sum_{i=1}^{n}{s_{ij}}\textcolor{red}{ \sum_{l=1}^{m}{a_{li} c_{l}} } \\ = \sum_{l=1}^{m}\left( \sum_{i=1}^{n}{a_{li}s_{ij}} \right)c_{l},\quad j=1,...n \qquad \tag{2.109b} \]

比较\((2.108)\)和\((2.109b)\)的两个式子，得出对于所有 $j = 1,...n $ 和 \(l = 1,...,m\),有:

\[ \sum_{k=1}^{m}{t_{lk}\tilde{a}_{kj}} = \sum_{i=1}^{n}{a_{li}s_{ij}} \]

所以

\[ \boldsymbol{T}\tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi} = \boldsymbol{A}_{\Phi}\boldsymbol{S} \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

则：

\[ \tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi} = \boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}_{\Phi}\boldsymbol{S} \]

证毕。

定理2.20 告诉我们，对于\(\mathrm{V}\) （\(\mathrm{B}\)变换为\(\mathrm{\tilde{B}}\)）和 \(\mathrm{W}\)（\(\mathrm{C}\) 变换为\(\tilde{\mathrm{C}}\)）的基变换，线性映射\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)的变换矩阵\(\boldsymbol{A}_{\Phi}\) 与等价矩阵\(\tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi}\)替换关系为：

\[ \tilde{\boldsymbol{A}}_{\Phi} = \boldsymbol{T}^{-1} \boldsymbol{A}_{\Phi} \boldsymbol{S} \]

图2.11 对于一个同态映射\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 和 \(\mathrm{V}\)的有序基\(\mathrm{B},\tilde{\mathrm{B}}\) 以及 \(\mathrm{W}\) 的有序基\(\mathrm{C},\tilde{\mathrm{C}}\) (用蓝色标记)，我们可以把相对于 \(\tilde{\mathrm{B}},\tilde{\mathrm{C}}\) 的映射 \(\Phi_{\mathrm{\tilde{C}\tilde{B}}}\)等价地表示为同态映射的组合 \(\Phi_{\mathrm{\tilde{C}\tilde{B}}}=\Xi_{\mathrm{\tilde{C}C}} \circ \Phi_{\mathrm{CB}} \circ \Psi_{\mathrm{B\tilde{B}}}\)，其中各个符号的下标为该符号对应的基变换对象。 相应的变换矩阵用红色表示。

图2.11 说明了这种关系：考虑一个同态映射\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 和 \(\mathrm{V}\) 的有序基\(\mathrm{B},\tilde{\mathrm{B}}\) 以及 \(\mathrm{W}\) 的有序基\(\mathrm{C},\tilde{\mathrm{C}}\) 。映射 \(\Phi_{\mathrm{CB}}\) 是 \(\Phi\) 的一个实例，它将\(\mathrm{B}\)的基向量映射为\(\mathrm{C}\)的基向量的线性组合。

假设我们已知关于有序基\(\mathrm{B}\),\(\mathrm{C}\)的\(\Phi_{\mathrm{CB}}\)的变换矩阵\(\boldsymbol{A}_{\Phi}\)。 当我们在\(\mathrm{V}\)中\(\mathrm{B}\)到\(\mathrm{\tilde{B}}\) 和\(\mathrm{W}\)中\(\mathrm{C}\)到\(\mathrm{\tilde{C}}\)间执行基变换时， 我们可以通过以下步骤得到相应的变换矩阵\(\boldsymbol{\tilde{A}}_{\Phi}\)

首先，我们找到了线性映射\(\Psi_{\mathrm{B\tilde{B}}} : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V}\)的矩阵表示， 它将相对于新基\(\mathrm{\tilde{B}}\) 的坐标映射到相对"旧"基\(\mathrm{B}\)（在\(\mathrm{V}\)中）的（唯一）坐标上。

然后，我们使用\(\Phi_{\mathrm{CB}}:\mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 的变换矩阵\(\boldsymbol{A}_{\Phi}\)将这些坐标映射到相对于\(\mathrm{W}\)中的基\(\mathrm{C}\)的坐标上。

最后，我们使用线性映射\(\Xi_{\mathrm{\tilde{C}C}}: \mathrm{W} \rightarrow \mathrm{W}\) 将相对于\(\mathrm{C}\)的坐标 映射到 相对于\(\mathrm{\tilde{C}}\)的坐标上。

因此，我们可以把线性映射\(\Phi_{\mathrm{\tilde{C}\tilde{B}}}\) 表示为包含"旧"基的线性映射的组合：

\[ \Phi_{\mathrm{\tilde{C}\tilde{B}}} = \Xi_{\mathrm{\tilde{C}C}} \circ \Phi_{\mathrm{CB}} \circ \Psi_\mathrm{B\tilde{B}} = \Xi_{\mathrm{C\tilde{C}}}^{-1} \circ \Phi_{\mathrm{CB}} \circ \Psi_\mathrm{\tilde{B}B} \]

具体的说，我们使用\(\Psi_{\mathrm{B\tilde{B}}} = \mathrm{id}_\mathrm{V}\) 和 \(\Xi_{\mathrm{C\tilde{C}}} = \mathrm{id}_\mathrm{W}\)，即将向量恒等映射到自身所在的向量空间，单相对于不同的基。

定义2.21 等价

如果存在正则矩阵 \(\boldsymbol{S} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 和 \(\boldsymbol{T} \in \mathbb{R}^{m \times m}\)， 使得 \(\tilde{\boldsymbol{A}} = \boldsymbol{T}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{S}\)， 则称两矩阵\(\boldsymbol{A},\boldsymbol{\tilde{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 等价(Equivalence)

定义2.22 相似

如果存在正则矩阵 \(\boldsymbol{S} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 使得\(\boldsymbol{\tilde{A}} = \boldsymbol{S}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{S}\) ，则称两矩阵\(\boldsymbol{A},\boldsymbol{\tilde{A}} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 相似(Similarity)

备注：

相似矩阵总是等价的。然而，等价矩阵不一定相似。

备注：

考虑向量空间\(\mathrm{V}\),\(\mathrm{W}\),\(\mathrm{X}\)。从 定理2.17 后面的备注中， 我们已经知道，对于线性映射\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)和 \(\Psi:\mathrm{W} \rightarrow \mathrm{X}\) ,映射 \(\Phi \circ \Psi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{X}\)也是线性的。 若这两个映射相应的变换矩阵为\(\boldsymbol{A}_{\Phi}\) 和 \(\boldsymbol{A}_{\Psi}\)， 则整个变换矩阵是\(\boldsymbol{A}_{\Psi \circ \Phi} = \boldsymbol{A}_{\Psi} \boldsymbol{A}_{\Phi}\)。

鉴于此，我们可以从构建线性映射的角度来看待基的变化：

• \(\boldsymbol{A}_\Phi\) 为关于基 \(\mathrm{B}\)，\(\mathrm{C}\)的线性映射\(\Phi_{\mathrm{CB}}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 的变换矩阵
• \(\boldsymbol{\tilde{A}}_{\Phi}\) 为关于基 \(\mathrm{\tilde{B}}\)，\(\mathrm{\tilde{C}}\)的线性映射\(\Phi_{\mathrm{ \tilde{C} \tilde{B} }}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 的变换矩阵
• \(\boldsymbol{S}\)是线性映射 $\Psi_{\mathrm{ B \tilde{B} }}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V} \(（自同构）的变换矩阵，它用\)\mathrm{B}\(表示\)\mathrm{\tilde{B}}\(。通常，\)\Psi = \mathrm{id}_{\mathrm{V}}$ 是\(\mathrm{V}\)中的恒等映射。
• \(\boldsymbol{T}\)是线性映射 $\Xi_{\mathrm{ C \tilde{C} }}: \mathrm{W} \rightarrow \mathrm{W} \(（自同构）的变换矩阵，它用\)\mathrm{C}\(表示\)\mathrm{\tilde{C}}\(。通常，\)\Xi = \mathrm{id}_{\mathrm{W}}$ 是\(\mathrm{W}\)中的恒等映射。

如果我们（非正式地）用基的形式表示变换，那么有:

• \(\boldsymbol{A}_{\Phi}: \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}\)
• \(\boldsymbol{\tilde{A}}_{\Phi} : \mathrm{\tilde{B}} \rightarrow \mathrm{\tilde{C}}\)
• \(\boldsymbol{S} : \mathrm{\tilde{B}} \rightarrow \mathrm{B}\)
• \(\boldsymbol{T} : \mathrm{\tilde{C}} \rightarrow \mathrm{C}\)
• \(\boldsymbol{T}^{-1}: \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{\tilde{C}}\)
• 以及

\[ \mathrm{\tilde{B}} \rightarrow \mathrm{\tilde{C}} = \textcolor{blue}{\mathrm{\tilde{B}} \rightarrow \mathrm{B}} \rightarrow \textcolor{red}{\mathrm{C}} \rightarrow \mathrm{\tilde{C}} \]

\[ \boldsymbol{\tilde{A}}_{\Phi} = \boldsymbol{T}^{-1}\textcolor{red}{\boldsymbol{A}_{\Phi}} \textcolor{blue}{\boldsymbol{S}} \qquad \tag{2.116} \]

注意，(2.116)中的执行顺序是从右向左的，因为向量是在右侧相乘，即

\[ \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{S}\boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{A}_{\Phi}(\boldsymbol{S}\boldsymbol{x}) \mapsto \boldsymbol{T}^{-1}(\boldsymbol{A}_{\Phi}(\boldsymbol{S} \boldsymbol{x})) \mapsto \boldsymbol{\tilde{A}}_{\Phi} \boldsymbol{x} \]

例 基变换

考虑一个线性映射\(\Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}\) 的变换矩阵为：

\[ \boldsymbol{A}_{\Phi} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & 3\\ 3 & 7 & 1\\ -1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \]

变换相应的标准基为：

\[ \mathrm{B} = \left( \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \right),\quad \mathrm{C} = \left( \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix} \right) \]

我们求\(\Phi\) 关于新基

\[ \mathrm{\tilde{B}} = \left( \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \right),\quad \mathrm{\tilde{C}} = \left( \begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix} \right) \]

的变换矩阵\(\boldsymbol{A}_{\Phi}\)，首先求出：

\[ \boldsymbol{S} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\quad \boldsymbol{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

式中，\(\boldsymbol{S}\) 的第 \(i\) 列是 \(\mathrm{\tilde{b}}_i\) 相对于\(\mathrm{B}\)的基向量的坐标表示。对于一般的基\(\mathrm{B}\) ，我们需要解一个线性方程组来求\(\lambda_i\) ，使得\(\sum_{i=1}^{3}\lambda_i\boldsymbol{b}_i = \boldsymbol{\tilde{b}}_j,j=1,...,3\)。类似地，\(\boldsymbol{T}\) 的第\(j\) 列是\(\boldsymbol{\tilde{c}}_j\)相对于\(\mathrm{C}\)的基向量的坐标表示。

因此，我们可以得到

\[ \boldsymbol{\tilde{A}}_\Phi = \boldsymbol{T}^{-1}\boldsymbol{A}_\Phi\boldsymbol{S} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1\\ 0 & 4 & 2\\ 10 & 8 & 4\\ 1 & 6 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ = \begin{bmatrix} -4 & -4 & 2\\ 6 & 0 & 0\\ 4 & 8 & 4\\ 1 & 6 & 3\\ \end{bmatrix} \]

在第四章中，我们将利用基变换的概念来寻找一个基，使得自同态的变换矩阵有一个特别简单的（对角）形式。

在第十找章降维中，我们将利用基变换研究一个数据压缩问题，即找到一个基并在这个基上投影数据从而压缩数据，同时最小化压缩损失。

像与核

线性映射的像和核是具有某些重要性质的向量子空间。在下面，我们将详细地描述它们。

定义23 像与核(Image and Kernal)

对于\(\Phi: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)，我们定义 核/零空间(e kernel / null space) 为:

\[ \mathrm{ker}(\Phi) := \Phi^{-1}(\mathbf{0}_{\mathrm{W}}) = \left\{ \boldsymbol{v} \in \mathrm{V} : \Phi(\boldsymbol{v}) = \mathbf{0}_{\mathrm{W}} \right\} \]

以及 像/值域(image / range) 为：

\[ \mathrm{Im}(\Phi) := \Phi(\mathrm{V}) = \left\{ \boldsymbol{w} \in \mathrm{W} \mid \forall \boldsymbol{v} \in \mathrm{V} : \Phi(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{w} \right\} \]

原书籍中 \(\forall\) 是 \(\exists\) 可能有误

我们也分别称\(\mathrm{V}\)和\(\mathrm{W}\)为\(\Phi\)的定义域(domain) 和陪域(codomain) 或称为上域、到达域

直观的说，核是被\(\Phi\)映射到单位元\(\mathbf{0}_{\mathrm{W}} \in \mathrm{W}\)上的 一组向量 \(\boldsymbol{v} \in \mathrm{V}\)

像是一组向量 \(\boldsymbol{w} \in \mathrm{W}\)，\(\mathrm{V}\)中任何向量都能被 \(\Phi\) 映射"到达" 像。如图2.12所示

图2.12 线性映射 \(\Phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 的核与像

备注

考虑线性映射\(\Phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)，其中 \(\mathrm{V}\) 和 \(\mathrm{W}\) 为向量空间

• 当\(\Phi(\boldsymbol{0}_\mathrm{V}) = \boldsymbol{0}_\mathrm{W}\) 总是成立，因此\(\boldsymbol{0}_\mathrm{V} \in \mathrm{ker}(\Phi)\)，特别地，零空间永远不会是空。
• \(\mathrm{Im}(\Phi) \subseteq \mathrm{W}\) 是 \(\mathrm{W}\) 的子空间，而 $ = \mathrm{ker}(\Phi) \subseteq \mathrm{V}$ 是 \(\mathrm{V}\) 的子空间
• 当且仅当 \(\mathrm{ker}(\Phi) = \{\boldsymbol{0}\}\)，\(\Phi\) 为单射的 （一对一）

备注：零空间与列空间

考虑 \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 以及线性映射 \(\Phi: \mathbb{R}^{n} -> \mathbb{R}^{m}, \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)

对于 \(\boldsymbol{A} = [\boldsymbol{a}_1,...,\boldsymbol{a}_n]\)，\(\boldsymbol{a}_i\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的列，我们可以得到

\[ \mathrm{Im}(\Phi) = \{\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}: \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}\} = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \mathrm{x}_i \boldsymbol{a}_i : \mathrm{x}_1,...,\mathrm{x}_n \in \mathbb{R} \right\} \\ =\mathrm{span}[\boldsymbol{a}_1,...,\boldsymbol{a}_n] \subseteq \mathbb{R}^{m} \]

即：像是\(\boldsymbol{A}\) 的列的张成空间，也成为 列空间(column space)。因此，列空间（像）是\(\mathbb{R}^{m}\) 的子空间，其中\(\mathrm{m}\)是矩阵的“高度”。

• \(\mathrm{rk}(\boldsymbol{A}) = \mathrm{dim}(\mathrm{Im}(\Phi))\)
• 核/零空间\(\mathrm{ker(\Phi)}\)是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的通解，即使得 \(\boldsymbol{A}\)的列的线性组合为\(\boldsymbol{0} \in \mathbb{R}^{m}\) 和 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的元素
• 核是\(\mathbb{R}^{n}\)的子空间，其中\(\mathrm{n}\)是矩阵的“宽度”。
• 核关注列之间的关系，我们可以使用它来确定是否/如何将列表示为其他列的线性组合

例 线性映射的像和核

映射:

\[ \Phi: \mathbb{R}^{4} \mapsto \mathbb{R}^{2}, \begin{bmatrix} \mathrm{x_1}\\\mathrm{x_2}\\\mathrm{x_3}\\\mathrm{x_4} \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{x_1}\\\mathrm{x_2}\\\mathrm{x_3}\\\mathrm{x_4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm{x_1} + 2\mathrm{x_2} - \mathrm{x_3}\\ \mathrm{x_1} + \mathrm{x_4} \end{bmatrix} \]

是线性的。为了确定\(\mathrm{Im}(\Phi)\)，我们可以取变换矩阵列的生成空间(span)，得到

\[ \mathrm{Im} = \mathrm{span} [ \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} ] \]

为了计算 \(\Phi\) 的核（零空间），我们需要解 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) ，也就是说，我们需要解一个齐次方程组。为此，使用高斯消元法将\(\boldsymbol{A}\)转化为行最简阶梯型：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mapsto \cdots \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

这个矩阵是行最简阶梯型，我们可以使用之前提到的 Minus-1 技巧来计算核的基本。或者，我们将非主元列 （第3列和第4列）表示为主元列（第1列和第2列）的线性组合。第三列\(\boldsymbol{a}_3\) 相当于第二列\(\boldsymbol{a}_2\) 的\(-\frac{1}{2}\)倍数。因此，\(0 = a_3 + -\frac{1}{2}\boldsymbol{a}_2\) 。以同样的方式，我们看到 \(\boldsymbol{a}_4 = \boldsymbol{a}_1 - \frac{1}{2}\boldsymbol{a}_2\) ，因此\(0 = \boldsymbol{a}_1 - \frac{1}{2}\boldsymbol{a}_2 - \boldsymbol{a}_4\) 。总的来说，可以得到核（零空间）为

\[ \mathrm{ker}(\Phi) = \mathrm{span} [ \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{2} \\ 1 \\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} ] \]

定理2.24 秩-零化度定理

对于向量空间\(\mathrm{V}\) ，\(\mathrm{W}\) 和线性映射 \(\Phi : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\)，总有

\[ \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(\Phi)) + \mathrm{dim}(\mathrm{Im}(\Phi)) = \mathrm{dim}(\mathrm{V}) \]

秩-零化度定理(Rank-Nullity Theorem) 也被称为 线性映射的基本理论（fundamental theorem of linear mappings，下面是通过该定理得到的结论：

• 如果 \(\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(\Phi)) \lt \mathrm{dim}(\mathrm{V})\)， 那么 \(\mathrm{ker}(\Phi)\)是非平凡的，即核不仅包含 \(\boldsymbol{0}_\mathrm{V}\)，且\(\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(\Phi)) \ge 1\)
• 如果 \(\boldsymbol{A}_{\Phi}\)是\(\Phi\)相对于有序基的变换矩阵， 且 \(\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(\Phi)) < \mathrm{dim}(\mathrm{V})\) ，则线性方程组 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 有无穷多个解。
• 如果 \(\mathrm{dim}(\mathrm{V}) = \mathrm{dim}(\mathrm{W})\)，则以下三个说法等价
• \(\Phi\) 是单射的
• \(\Phi\) 是满射的
• \(\Phi\) 是双射的 因为 \(\mathrm{Im}(\Phi) \subseteq \mathrm{W}\)